In der Musiktheorie finden zwei Methoden der Berechnung von Intervallen Anwendung:

 

– multiplikative Verhältnisse zwischen den Frequenzen zweier (oder mehrerer) Töne

 

– additive Beziehungen zwischen Logarithmen dieser Verhältnisse

 

 

Grundlage der multiplikativen Verhältnisse ist vor allem die Obertonreihe, das heißt die Reihe der ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz, also F, 2F, 3F, 4F, 5F,...

 

Zwischen zwei Teiltönen der Obertonreihe treten demnach ganzzahlige Verhältnisse auf.

Das gleiche (nicht notwendigerweise ganzzahlige) Frequenzverhältnis zweier Töne wird von uns als das gleiche Intervall wahrgenommen.

 

Z.B. hören wir

200 Hz : 100 Hz  = 880 Hz : 440 Hz   = 2468 Hz : 1234 Hz     = 2:1   als Oktav,

150 Hz : 100 Hz  = 660 Hz : 440 Hz   = 1851 Hz : 1234 Hz     = 3:2   als Quint und

125 Hz : 100 Hz  = 550 Hz : 440 Hz   = 1542,5 Hz : 1234 Hz  = 5:4   als große Terz.

Dabei bedeutet die Frequenz von 1 Hertz (Hz) eine Schwingung pro Sekunde.

 

Intervalle werden durch Multiplikation der Frequenzverhältnisse miteinander kombiniert,

also ergibt z.B. eine Oktav (2) und eine Quint (3/2) zusammen eine Duodezim 2·(3/2) = 3.

 

 

 

Eine andere Darstellung der Intervalle ergibt sich durch Logarithmen der Frequenzverhältnisse. Üblich ist dafür die Einteilung der Oktav in 12 gleiche Halbtöne (gleichstufig temperierte Stimmung), von denen wieder jeder als 100 Cent definiert wird.

 

So hat dann die Oktav (Frequenzverhältnis 2) 1200 Cent

die Quint  (Frequenzverhältnis 3/2) 701,9 Cent

die gleichstufig temperierte Quint  700 Cent

die pythagoräische große Terz (Frequenzverhältnis 81/64) 407,8 Cent

die gleichstufig temperierte große Terz  400 Cent

die große Terz  (Frequenzverhältnis 5/4) 386,3 Cent.

 

Intervalle werden durch Addition der Centmaße miteinander kombiniert,

also ergibt z.B. eine Oktav (1200 Cent) und eine Quint (700 bzw. 701,9 Cent) zusammen eine Duodezim (1900 bzw. 1901,9 Cent).

 

 

Ein gegebenes Verhältnis C (C > 0) kann man in einen Centwert  folgendermaßen umrechnen:

 

[C] = c = 1200·₂log(C) = 1200·log(C)/log(2)          Einheit Cent 

 

z.B.: C = 5/4 (große Terz)

→ [5/4] = 1200·log(5/4)/log(2) = 386,3137139 Cent

 

Umgekehrt erhält man bei gegebenem Centmaß c bzw. [C] das Frequenzverhältnis durch:

 

 

z.B.: [C] = c = 600 Cent (gleichstufig temperierter Tritonus)

→ C = 2^600/1200 = 2^1/2 = √2 = 1,414214...

 

In dieser Zusammenstellung werden immer beide Methoden (Zahlenverhältnisse und Centmaße) gemeinsam verwendet.

 

Definitionsgemäß gilt:

[A·B] = [A] + [B]

[A/B] = [A] - [B]

[A/A] = [A] - [A] = 0 Cent

[A^x]   = x·[A]

[A^-1]  = - [A]