genera musica XII. - XIV.

 genus musicum XII.      exponens 2m·33·5     "korrigiertes diatonisches Tongeschlecht der Antike"
  F Fs G A H c d e f
27 20·33·5 24·32 25·5 22·32·5 26·3 23·33 24·3·5 28
128 135 144 160 180 192 216 240 256
f 28 256 1/2  135/256   9/16  5/8  45/64  3/4  27/32  15/16  1
e 24·3·5 240  8/15 9/16  3/5   2/3 3/4  4/5 9/10  1 16/15
d 23·33 216 16/27   5/8 2/3 20/27  5/6 8/9 1  10/9 32/27
c 26·3 192 2/3   45/64  3/4  5/6 15/16  1  9/8  5/4 4/3 
H 22·32·5 180 32/45  3/4  4/5 8/9   1 16/15   6/5 4/3   64/45
A 25·5 160 4/5  27/32   9/10 1  9/8  6/5 27/20  3/2  8/5 
G 24·32 144 8/9 15/16   1 10/9  5/4  4/3  3/2  5/3  16/9 
Fs 20·33·5 135 128/135  1  16/15  32/27  4/3  64/45  8/5  16/9 256/135 
F 27 128 1   135/128 9/8 5/4  45/32   3/2 27/16   15/8  2

 

Wenn man den Ton 135 = 33·5 auslässt, kann man eine Skala bilden, die aus 2 Tetrachorden besteht.

120 128 144 160   180 192 216 240
   16/15  9/8  10/9    16/15  9/8  10/9

Wenn man die Töne 2m als F, 2m·3 als C, 2m·32 als G, 2m·33 als D, 2m·5 als A, 2m·3·5 als E und 2m·32·5 als H bezeichnet, stimmt diese Skala bemerkenswert mit dem zu Eulers Zeit gebräuchlichen diatonischen System überein.

Euler stellt dieser Skala ("genus diatonicum syntonum Ptolemaei") vier nach seiner Darstellung in der Antike außerdem gebrächliche diatonische Tongeschlechter gegenüber. Deren Tetrachorde sind folgende:

 genus diatonicum Pythagorae  256/243  9/8  9/8
 genus diatonicum molle  21/20  10/9  8/7
 genus diatonicum toniacum  28/27  8/7  9/8
 genus diatonicum aequale 12/11 11/10 10/9

 

 

genus musicum XIII.     exponens 2m·32·52     "korrigiertes chromatisches Tongeschlecht der Antike"
  F G Gs A H c cs ds e f
 27  24·32  21·3·52  25·5  22·32·5  26·3  23·52  20·32·52  24·3·5  28
128 144 150 160 180 192 200 225 240 256
f  28 256  1/2  9/16  75/128  5/8  45/64  3/4  25/32  225/256  15/16  1
e  24·3·5 240  8/15  3/5  5/8  2/3  3/4  4/5  5/6  15/16  1  16/15
ds  20·32·52 225  128/225  16/25  2/3  32/45  4/5  64/75  8/9  1  16/15  256/225
cs  23·52 200  16/25  18/25  3/4  4/5  9/10  24/25  1  9/8  6/5  32/25
c  26·3 192  2/3  3/4  25/32  5/6  15/16 1   25/24  75/64  5/4  4/3
H  22·32·5 180  32/45  4/5  5/6  8/9  1  16/15  10/9  5/4  4/3  64/45
A  25·5 160  4/5  9/10  15/16  1  9/8  6/5  5/4  45/32  3/2  8/5
Gs  21·3·52 150  64/75  24/25  1  16/15  6/5  32/25  4/3  3/2  8/5  128/75
G  24·32 144  8/9  1  25/24  10/9  5/4  4/3  25/18  25/16  5/3  16/9
F  27 128  1  9/8  75/64  5/4  45/32  3/2  25/16  225/128  15/8  2

 

Wenn man die Töne 150 und 225 auslässt, kann man eine Skala bilden, die aus zwei Tetrachorden besteht.

 120 128  144  160    180  192  200  240 
   16/15  9/8  10/9    16/15  25/24  6/5


Euler stellt dieser Skala drei nach seiner Darstellung in der Antike gebrächliche chromatische Tongeschlechter gegenüber. Deren Tetrachorde sind folgende:

 genus chromaticum antiquum  256/243  76/67  5427/4864
 genus chromaticum molle  28/27  15/14  6/5
 genus chromaticum syntonum  22/21  12/11  7/6

 


 

 genus musicum XIV.       exponens 2m·3·53       "korrigiertes enharmonisches Tongeschlecht der Antike"
  F Gs A c* c cs e f* f
 28  22·3·52  26·5  20·3·53  27·3  24·52  25·3·5  22·53  29
256 300 320 375 384 400 480 500 512
f   29 512  1/2  75/128  5/8  375/512  3/4  25/32  15/16  125/128  1
f*   22·53 500  64/125  3/5  16/25  3/4  96/125  4/5  24/25  1  128/125
e   25·3·5 480  8/15  5/8  2/3  25/32  4/5  5/6  1  25/24  16/15
cs   24·52 400  16/25  3/4  4/5  15/16  24/25  1  6/5  5/4  32/25
c   27·3 384  2/3  25/32  5/6  125/128  1  25/24  5/4  125/96  4/3
c*   20·3·53 375  256/375  4/5  64/75  1  128/125  16/15  32/25  4/3 512/375
A   26·5 320  4/5  15/16  1  75/64  6/5  5/4  3/2  25/16  8/5
Gs  22·3·52 300  64/75  1  16/15  5/4  32/25  4/3  8/5  5/3  128/75
F  28  256  1  75/64  5/4  375/256  3/2  25/16  15/8  125/64  2

 

Wenn man den Ton 300 auslässt, kann man eine Skala bilden, die aus zwei Tetrachorden besteht.

 240 250  256  320    375  384  400  480 
   25/24  128/125  5/4    128/125  25/24  6/5


Euler stellt dieser Skala drei nach seiner Darstellung in der Antike gebrächliche enharmonische Tongeschlechter gegenüber. Deren Tetrachorde sind folgende:

 genus enharmonicum antiquum  128/125  250/243  81/64
 genus enharmonicum Ptolemaicum  46/45  24/23  5/4

 

 Graphische logarithmische Darstellung der Tongeschlechter XII - XIV:
12 14