XI. Intervalle mit den Faktoren 5 und 7
Zwischen dem 5. und dem 7. Teilton der Obertonreihe bzw. zwischen dem 7. Teilton und dem um
eine Oktav hinauftransponierten 5. Teilton ergeben sich zwei weitere Tritoni:
7/5 | [5/7] | = | 582,5121926 | ||
10/7 | [10/7] | = | 617,4878074 |
Durch Hinzufügen eines Tonus (9/8) erhält man zwei kleine Sexten:
63/40 | [63/40] | = | 786,4221943 | ||
45/28 | [45/28] | = | 821,3978091 |
Durch Wegnehmen eines Tonus (9/8) erhält man zwei große Terzen:
56/45 | [56/45] | = | 378,6021909 | ||
80/63 | [80/63] | = | 413,5778057 |
Zu Quart bzw. Quint ergeben sich zwei Halbtöne:
21/20 | [21/20] | = | 84,4671935 | ||
15/14 | [15/14] | = | 119,4428083 |
Als deren Komplementärintervalle zur Oktav ergeben sich zwei große Septimen:
28/15 | [28/15] | = | 1080,5571917 | ||
40/21 | [40/21] | = | 1115,5328065 |
Nimmt man
Z := | Φ/Ψ = X·Y = (5·210)/(7·36) | [Z] = z | = | x + y = 5,7578022 |
kann man die Annäherung dieser Intervalle durch Pythagoräische Kommata folgendermaßen beschreiben:
21/20 | = P4/(R·Z) | [21/20] | = | 4p – r – z | |
15/14 | = (P5·Z)/R | [15/14] | = | 5p – r + z | |
56/45 | = P17/(R4·Z) | [56/45] | = | 17p – 4r – z | |
80/63 | = (P18·Z)/R4 | [80/63] | = | 18p – 4r + z | |
7/5 | = P26/(R6·Z) | [7/5] | = | 26p – 6r – z | |
10/7 | = (P27·Z)/R6 | [10/7] | = | 27p – 6r + z | |
63/40 | = P35/(R8·Z) | [63/40] | = | 35p – 8r – z | |
45/28 | = (P36·Z)/R8 | [45/28] | = | 36p – 8r + z | |
28/15 | = P48/(R11·Z) | [28/15] | = | 48p – 11r – z | |
40/21 | = (P49·Z)/R11 | [40/21] | = | 49p – 11r + z |
und mit den Resultaten von Kapitel V und VI erhalten wir:
[21/20] | = | 4p – r – z = | 4h – 5r/53 – z = | 4h – 6,0988443 | ||
[15/14] | = | 5p – r + z = | 5h + 7r/53 + z = | 5h + 6,2352611 | ||
[56/45] | = | 17p – 4r – z = | 17h – 8r/53 – z = | 17h – 6,3034695 | ||
[80/63] | = | 18p – 4r + z = | 18h + 4r/53 + z = | 18h + 6,0306358 | ||
[7/5] | = | 26p – 6r – z = | 26h – 6r/53 – z = | 26h – 6,1670527 | ||
[10/7] | = | 27p – 6r + z = | 27h + 6r/53 + z = | 27h + 6,1670527 | ||
[63/40] | = | 35p – 8r – z = | 35h – 4r/53 – z = | 35h – 6,0306358 | ||
[45/28] | = | 36p – 8r + z = | 36h + 8r/53 + z = | 36h + 6,3034695 | ||
[28/15] | = | 48p – 11r – z = | 48h – 7r/53 – z = | 48h – 6,2352611 | ||
[40/21] | = | 49p – 11r + z = | 49h + 5r/53 + z = | 49h + 6,0988443 |