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XI. Intervalle mit den Faktoren 5 und 7


Zwischen dem 5. und dem 7. Teilton der Obertonreihe bzw. zwischen dem 7. Teilton und dem um
eine Oktav hinauftransponierten 5. Teilton ergeben sich zwei weitere Tritoni:

7/5 [5/7]   = 582,5121926
 
10/7 [10/7]   = 617,4878074

 
Durch Hinzufügen eines Tonus (9/8) erhält man zwei kleine Sexten:

  63/40 [63/40] = 786,4221943
 
  45/28 [45/28] = 821,3978091


Durch Wegnehmen eines Tonus (9/8) erhält man zwei große Terzen:

  56/45   [56/45] = 378,6021909
           
  80/63   [80/63] = 413,5778057


Zu Quart bzw. Quint ergeben sich zwei Halbtöne:

  21/20 [21/20] = 84,4671935
 
  15/14 [15/14] = 119,4428083


Als deren Komplementärintervalle zur Oktav ergeben sich zwei große Septimen:

  28/15 [28/15] = 1080,5571917
 
  40/21 [40/21] = 1115,5328065


Nimmt man

  Z := Φ/Ψ = X·Y = (5·210)/(7·36) [Z] = z = x + y = 5,7578022


kann man die Annäherung dieser Intervalle durch Pythagoräische Kommata folgendermaßen beschreiben:

  21/20 = P4/(R·Z) [21/20] = 4p – r – z
  15/14 = (P5·Z)/R [15/14]  = 5p – r + z
  56/45 = P17/(R4·Z) [56/45]  = 17p – 4r – z
  80/63 = (P18·Z)/R4 [80/63]  =  18p – 4r + z
  7/5 = P26/(R6·Z) [7/5]  = 26p – 6r – z
  10/7 = (P27·Z)/R6 [10/7]  = 27p – 6r + z
  63/40 = P35/(R8·Z) [63/40]  =  35p – 8r – z
  45/28 = (P36·Z)/R8 [45/28] =  36p – 8r + z
  28/15 = P48/(R11·Z) [28/15]  =  48p – 11r – z
  40/21 = (P49·Z)/R11 [40/21]  = 49p – 11r + z



und mit den Resultaten von Kapitel V und VI erhalten wir:

  [21/20] = 4p – r – z =   4h – 5r/53 – z = 4h – 6,0988443
  [15/14] = 5p – r + z =   5h + 7r/53 + z = 5h + 6,2352611
  [56/45] = 17p – 4r – z =   17h – 8r/53 – z = 17h – 6,3034695
  [80/63] = 18p – 4r + z =   18h + 4r/53 + z =  18h + 6,0306358
  [7/5] = 26p – 6r – z =   26h – 6r/53 – z = 26h – 6,1670527
  [10/7] = 27p – 6r + z =   27h + 6r/53 + z = 27h + 6,1670527
  [63/40] = 35p – 8r – z =   35h – 4r/53 – z = 35h – 6,0306358
  [45/28] = 36p – 8r + z =   36h + 8r/53 + z =  36h + 6,3034695
  [28/15] = 48p – 11r – z =   48h – 7r/53 – z =  48h – 6,2352611
  [40/21] = 49p – 11r + z =   49h + 5r/53 + z = 49h + 6,0988443



 

 

 

Lukas Thenius © 2025