VII. Intervalle, die man durch Potenzen von 2 und 3 und durch den Faktor 5 beschreiben kann
Wenn man auch den 5. Teilton der Obertonreihe berücksichtigt (F, 2F, 3F, 4F, 5F), erhält man Intervalle, deren Frequenzverhältnisse neben Potenzen der 2 und der 3 auch noch den Faktor 5 enthalten:
Diese Intervalle kann man gut durch Hinzunahme des Syntonischen Kommas Ψ (Verhältnis zwischen den Terzen 81/64 und 5/4) oder des Schismas X (Verhältnis zwischen Pythagoräischem und Syntonischem Komma) darstellen.
| Ψ = (81/64)/(5/4) = 34/(24·5) = 81/80 | [Ψ] = ψ | = 21,5062896 | ||
| X = P/Ψ = (38·5)/215 | [X] = x = [P] – [Ψ] = p – ψ | = 1,9537208 |
Die Rechnung liefert folgende Ergebnisse:
| kleiner Halbton | 135/128 = | P5/(ΨR) = (P4X)/R | [135/128] = | 4p – r + x | |
| großer Halbton | 16/15 = | (P4Ψ)/R = P5/(RX) | [16/15] = | 5p – r – x | |
| kleiner Ganzton | 10/9 = | P9/(ΨR2) = P8(X/R2) | [10/9] = | 8p – 2r + x | |
| kleine Terz | 6/5 = | (P13Ψ)/R3 = P14/(R3X) | [6/5] = | 14p – 3r – x | |
| große Terz | 5/4 = | P18/(ΨR4) = (P17X)/R4 | [5/4] = | 17p – 4r + x | |
| Tritonus | 45/32 = | P27/(ΨR6) = (P26X)/R6 | [45/32] = | 26p – 6r + x | |
| Tritonus | 64/45 = | (P26Ψ)/R6 = P27/(R6X) | [64/45] = | 27p – 6r – x | |
| kleine Sext | 8/5 = | P35/(ΨR8) = P36/(R8X) | [8/5] = | 36p – 8r – x | |
| große Sext | 5/3 = | P40/(ΨR9) = (P39X)/R9 | [5/3] = | 39p – 9r + x | |
| kleine Septim | 9/5 = | (P44Ψ)/R10 = P45/(R10X) | [9/5] = | 45p – 10r – x | |
| große Septim | 15/8 = | P49/(ΨR11) = (P48X)/R11 | [15/8] = | 48p – 11r + x | |
| große Septim | 256/135 = | (P48Ψ)/R11 = P49/(R11X) | [256/135] = | 49p – 11r – x |
Aus dem Vorigen und den Kapiteln V und VI
| folgt z.B. | [5/4] | = 17p – 4r + x | |
| = 17h – 8r/53 + x | |||
| = 17h – 0,5456673 + 1,9537208 = | |||
| = 17h + 1,4080535 ¢ |
Die große Terz als Intervall zwischen dem 4. und 5. Teilton der Obertonreihe kann also durch
17 Holder-Kommata sehr gut angenähert werden.
Analog ergibt sich für die anderen Intervalle, die das Syntonische Komma bzw. das Schisma enthalten:
| 135/128 | = (P4X)/R | [135/128] = | 4h – | 5r/53 + x = | 4h + 1,6126787 | |
| 16/15 | = P5/(RX) | [16/15] = | 5h + | 3r/53 – x = | 5h – 1,7490956 | |
| 10/9 | = (P8X)/R2 | [10/9] = | 8h – | 10r/53 + x = | 8h + 1,2716367 | |
| 6/5 | = P14/(R3X) | [6/5] = | 14h + | 5r/53 – x = | 14h – 1,6126787 | |
| 5/4 | = (P17X)/R4 | [5/4] = | 17h – | 8r/53 + x = | 17h + 1,4080535 | |
| 45/32 | = (P26X)/R6 | [45/32] = | 26h – | 6r/53 + x = | 26h + 1,5444703 | |
| 64/45 | = P27/(R6X) | [64/45] = | 27h + | 6r/53 – x = | 27h – 1,5444703 | |
| 8/5 | = P36/(R8X) | [8/5] = | 36h + | 8r/53 – x = | 36h – 1,4080535 | |
| 5/3 | = (P39X)/R9 | [5/3] = | 39h – | 5r/53 + x = | 39h + 1,6126787 | |
| 9/5 | = P45/(R10X) | [9/5] = | 45h + | 10r/53 – x = | 45h – 1,2716367 | |
| 15/8 | = (P48X)/R11 | [15/8] = | 48h – | 3r/53 + x = | 48h + 1,7490956 | |
| 256/135 | = P49/(R11X) | [256/135] = | 49h + | 5r/53 – x = | 49h – 1,6126787 |
Auch diese Intervalle können also sehr günstig durch Holder-Kommata angenähert werden.
Zum Vergleich die Annäherung durch Teilung der Oktav in 12 gleiche Teile:
| kleiner Halbton | 135/128 = | [135/128] = | 92,1787165 = | 100 – 7,8212235 | ||
| großer Halbton | 16/15 = | [16/15] = | 111,7312853 = | 100 + 11,7312853 | ||
| kleiner Ganzton | 10/9 = | [10/9] = | 182,4037121 = | 200 – 17,5962849 | ||
| kleine Terz | 6/5 = | [6/5] = | 315,6412870 = | 300 + 15,6412870 | ||
| große Terz | 5/4 = | [5/4] = | 386,3137139 = | 400 – 13,6862861 | ||
| Tritonus | 45/32 = | [45/32] = | 590,2237156 = | 600 – 9,7762844 | ||
| Tritonus | 64/45 = | [64/45] = | 609,7762844 = | 600 + 9,7762844 | ||
| kleine Sext | 8/5 = | [8/5] = | 813,6862861 = | 800 + 13,6862861 | ||
| große Sext | 5/3 = | [5/3] = | 884,3587130 = | 900 – 15,6412870 | ||
| kleine Septim | 9/5 = | [9/5] = | 1017,5962879 = | 1000 + 17,5962879 | ||
| große Septim | 15/8 = | [15/8] = | 1088,2687147 = | 1100 – 11,7312853 | ||
| große Septim | 256/135 = | [256/135] = | 1107,8212835 = | 1100 + 7,8212835 |