III. Intervalle, die man durch Potenzen von 2 und 3 darstellen kann

Eine Methode, die schon weitreichende Möglichkeiten eröffnet, nimmt für die Bildung der Intervalle zunächst nur die ersten drei Teiltöne der Naturtonreihe: F, 2F, 3F.

Zwischen erstem und zweiten, bzw. zwischen zweitem und drittem Teilton ergeben sich die Oktav und die Quint:

Zwischen einer Quint und einer Oktav ergibt sich die Quart:

Zwischen einer Oktav und zwei Quinten ergibt sich der Tonus („Ganzton“):

Zwischen zwei Toni und einer Quart ergibt sich das Semitonium („Halbton“):

Zwischen drei Toni und einer Quint ergibt sich ebenfalls ein Semitonium:

Die Modi des gregorianischen Chorals sind aus diesen Toni und Semitonia aufgebaut,
(https://imslp.org/wiki/Micrologus_(D'Arezzo%2C_Guido))

Folgender Tonvorrat wird für die Bildung der Modi verwendet:

  
Zwischen diesen Töne ergeben sich daher theoretisch folgende Intervalle: 

Innerhalb einer Oktav treten also – wenn man das Intervall zwischen b molle und b durum vernachlässigt (das wäre die Apotome A = 3⁷/2¹¹) – neben S, T, Qua und Qui noch auf:

Durch aufsteigende Quinten (· 3/2) bzw. absteigende Quarten (· 3/4) kann man folgende Ordnung („Quintenzirkel“) erhalten:
Tr₁ : S : k6 : k3 : k7 : Qua : O : Qui : T : g6 : g3 : g7 : Tr₂

Als für den Zusammenklang (Konkordanz) geeignet werden nur die Intervalle betrachtet, die durch Zahlenverhältnisse mit den kleinsten Nennern beschrieben werden:

Hier finden wir auch schon das Pythagoräische Komma P = 3¹²/2¹⁹:

Wenn wir den Unterschied zwischen Semitonium und Tonus betrachten, erhalten wir die Apotome.